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Zemax光学设计实例（158）---薄透镜的Seidel像差及校正

2022-5-1 21:17| 发布者：Davis| 查看：3555| 评论：0|原作者: 小小光08

摘要：本文介绍了Zemax光学设计中薄透镜的Seidel像差及校正方法，通过七个方程总结了球差、彗差、像散、场曲、畸变、轴向色差和垂轴色差的影响因素，提出了利用正负透镜组合来校正球差和彗差的方法，并探讨了折射率对最小球差和形状因子的关系。该文章对光学设计工作者具有一定的参考价值。

在光阑处的薄透镜的Seidel像差的七个方程总结如下，

其中，

球差S₁和彗差S₂与形状因子B和共轭因子C有关，而像散S₃、场曲S₄、畸变S₅，轴向色差C₁和垂轴色差C₂与形状因子B和共轭因子C无关。

H是 Lagrange不变量，等于nuh= n`u`h`。

K为薄透镜的光焦度。

n为薄透镜的折射率。

h是近轴边际线的高度。

由于是薄透镜，畸变S₅和垂轴色差C₂都为0。

薄透镜的7个Seidel像差方程也是光学设计中最重要的方程。

虽然，实际的透镜不可能没有厚度，但是这些薄透镜方程还是非常有价值，因为对给定的镜组它们可以推断哪种像差是可以校正的。

1. 球差的校正

由S₁方程可以看出，S₁是形状因子B的二次函数。

以正光焦度的薄透镜为例，B²有正的系数，当B很大时，S₁为正。

我们更想知道S₁为零时的情况，因此S₁对B求导

当满足以下条件时其为零：

此时，把上式代入S₁方程可以求出最小球差：

（1） 朝向最小球差弯曲

若S_1min为零，则C为

例如n=1.6时，则C=±4。

由

可得放大率m为5/3或3/5，这两个放大率都为正值，说明物像中必有一个是虚的。

对于B=0的等凸透镜，当C=0，放大率为-1时，球差为

当光焦度K为正时，球差为正。

注意：球差与h⁴和K³成正比。

若B为非零值，即透镜的弯曲偏离等凸的情况，但是C还是为0，那么球差也为正而且会变大。

（2） 折射率的影响

若考虑物在无穷远(C=-1)的情况，则最小球差由下式给出：

当C²=1时，括号内的项为：

上式由折射率决定。

对于不同的折射率，我们可以求出最小球差和对应的形状因子的关系，如下表：

备注：当C=-1，n=1.5时，先假设此时的S_1min为1，即可以求出Constant 2。以此为基础，可以求出不同折射率对应的S_1min。

上面这个表格可以看出，对于低折射率，最好的形状因子是一个双凸透镜(B<1)；但是当折射率增加，最好形状因子的是一个平凸透镜（当折射率为1.686时，B=1)；对于大折射率，它是弯月形(B>1)；当折射率n=4(例如锗)，最好的形状是一个很大的弯月形，这在热成像镜头中非常常见。

另外，如果高折射率的材料可以使用，那么球差将大大减小；但是对于可见光波段的常用材料，折射率从1.5变到1.8并不能看出非常大的优化。

（3） 共轭因子的影响

最小球差S_1min也与共轭因子C有关。

当折射率n=1.6时，我们可以求出最小球差和不同共轭因子的关系，如下表：

备注：当n=1.6时，先假设此时的S_1min为1，即可以求出Constant 2。以此为基础，可以求出不同共轭因子C对应的S_1min。

上面这个表格可以看出，共轭因子C变大，则球差快速下降。

注意：最小球差与C的符号无关。

（4） 用两个正透镜来校正球差

如果只用两个正透镜，每一个都弯曲到最小球差，那么球差的校正与折射率有关。

如果折射率很小，那么最小球差几乎不受第二个透镜影响，因为第二个透镜是对汇聚光束再汇聚，总球差近似与h⁴K³/4成正比。

若用两个光焦度为K/2的透镜代替一个透镜，那么总球差与下式成正比:

但是若折射率足够高（大约n=3),用两个透镜校正球差是可能的。它还指出用三个折射率=2的透镜来校正球差是可能的，如果是四个透镜那么折射率降为1.518（例如Schott BK7玻璃）。这些透镜的结构如下图所示：

使用ZEMAX模拟下上述情况：

（5） 利用正负透镜来校正球差

球差校正通常是使用正负透镜组合。

因为正负透镜组合既可以校正球差又可以校正色差，所以正负透镜组合是最常用的方法。而且，正负透镜组合与折射率关系不大，因此任意两个低折射率的正负透镜组合都可能校正球差。

当然，若是双胶合透镜，那么两个透镜的折射率应该不同（用于正透镜的冕牌玻璃的折射率应该比用于负透镜的火石玻璃的折射率低)，但是若两透镜之间有空气，那么，折射率差的要求就没有那么严格。

2. 彗差的校正

对于一个在光阑处的博透镜，其彗差为

上式表明，总有一个形状因子B可以使彗差为零，这个形状因子还与共轭参数C有关。

彗差为零时的这个关系为：

下表对比了C=-1(物在无穷远)时，最小球差时的形状因子和零彗差时的形状因子：

从上表可以看出，最小球差的形状因子总是稍小于零彗差的形状因子。

把折射率选在1.6-1.7之间，则我们可以得到一个零彗差或者最小球差的平凸透镜(B=1)。

对于单位放大率的等凸透镜（m=-1，C=0），既可以使彗差为零又可以使球差最小。而且，对于红外波段的透镜，如锗的折射率为4，使球差最小以及彗差为零的形状是一个很强的弯月形。实际上，几乎在所有的热成像透镜中都是这种弯月形透镜。

3. 像散的校正

在光阑处的薄透镜的像散为：

如果我们在光阑处使用组合薄透镜，那么镜头的总光焦度等于单个透镜光焦度的和(K=K₁+K₂),即系统的总像散并没有改变，即在光阑处即使用多个薄透镜来替代一个薄透镜也无法校正像散。

因此，若要校正像散，那么必须使用光阑位移方程：

上面这个方程说明，可以用不为零的彗差或者球差来引入像散。例如，特地引入一些彗差，可以设计一个不在光阑处的单透镜，使其像散得到校正。

注意，对于单透镜，引入球差不会优化像散，因为单透镜的S₁为正，其只会使像散变坏。

显然，校正像散的结果是彗差不为零，所以这个单透镜的性能也好不到哪里去。通常，若我们想要同时校正S₁、S₂和S₃，那么需要不止一个透镜，而且透镜之间还要有一定间隔。

4. 场曲的校正

由上式看出，场曲S₄与H²成正比。

Petzval 和的方程定义如下：

其中场曲S₄表示系统所有面的贡献量的和。

若像散S₃等零，则Petzval面表示光学系统的像面。

对于单个薄透镜，有：

任意一个对中等视场成像的镜头，通常都需要平的像面，即Petzval和需要很小。

因为单个薄正透镜的Petzval和不可能为零，所以需要更为复杂的系统。

通常校正镜头的Petzval和的基本方法有三种：

（1） 采用不同的折射率

若我们组合高折射率的正透镜和低折射率的负透镜，则在理论上其可以减小Petzval和。

例如，一个光焦度为K₁=4的正透镜其折射率为n₁=1.8，还有一个光焦度为K₂=-3的负透镜其折射率为n₂=1.5，那么这两个薄透镜的Petzval和为

这个值比折射率为n₁=1.8的相同光焦度的单透镜的Petzval和1/1.8=0.555小多了。然而K₁和K₂的光焦度非常大，这意味着它们的表面非常弯曲。因此实际上，很少使用这种方法来校正Petzval和。

（2） 分离透镜

假设有两个相同折射率的光焦度分别为+K和-K的透镜，其间隔为d，如下图所示：

则组合透镜的光焦度为

因为有

则可得

不管K₁的符号是什么，它总是正值。因此若分离的正负透镜，不管哪个透镜在前，我们总可以得到一个零Petzval和且正光焦度的系统。

一般来说，若我们设计一个具有多个透镜的系统，其中一些光焦度为正、一些为负，而且它们之间具有空气间隔，那么可以得到一个总光焦度为正而且Petzval和为零（至少可以很小)的系统。

（3） 弯月形厚透镜

曲率为c₁和c₂，折射率为n，厚度为d的厚透镜的光焦度公式为：

若这个透镜的两个面的曲率相等，则这两个面的光焦度相反，即Petzval和为零，但是这个透镜却具有光焦度K为：

若c₁不为零，那么这个厚透镜的光焦度是正值。

显然它的Petzval和为零，故这是一个设计零Petzval和、且正光焦度透镜的方法。

同样地，我们可以设计一个零光焦度，但是Petzval和为负的厚透镜，其可以用于减小一般系统所固有的正Petzval和。

除非这个透镜很厚很贵，否则其光焦度只能很小，而且弯月形厚透镜也不好加工。

5. 不在光阑上的薄透镜的 Seidel 像差

因为离轴像差的计算使用了主光线，所以它们受光阑的位置影响。若光阑的位置发生变化，那么通过镜头的离轴光束也发生变化，进而离轴像差发生变化。

注意，沿轴移动光阑的同时，光阑口径也要发生变化，以保证像空间的数值孔径不变。因此，除非光阑是处在边际线平行于光轴的空间，否则为了保证像空间的数值孔径不变，移动光阑总是要改变光阑口径。

倘若初始系统没有像差，那么改变光阑的位置也不会引入像差。

变化 E 所带来的薄透镜像差变化为：

注意，这里 E 的变化不一定很小。

因为薄透镜在光阑上时C₂为零，所以当远离光阑的薄透镜的实际C₂值为：

上式中，

H是 Lagrange不变量，等于nuh= n`u`h`。

K为薄透镜的光焦度。

E为离心率。

h是近轴边际线的高度。

h_为近轴主光线的高度。

把透镜移到光阑上，则h_等于零。这个方程表明，横向色差由主光线的高度和轴上边际线的高度决定。

所以，镜片越远离光阑或主光线的角度越大，可推断其横向色差也越大。同样，V 值越小色散越大，横向色差也越大。

6. 轴向色差和横向色差的校正

当系统的轴向和横向色差都被校正了，用光阑位移方程可以推导出一个很有用的特殊结论。

考察一个具有两个元件 A 和 B的系统，每个元件不一定是单透镜。

轴向色差为：

垂轴色差为：

为了使上面的两个方程都成立，则以下两个条件必有一个成立：

A）C_1A=C_1B=0，即元件A和元件B都是已经各自消色差的。此种情况的实例有Petzval 透镜或照相镜头，如下图所示：

B）E_A=E_B，即两个元件接触在一起。此种情况的实例就是双胶合透镜。

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