你真的懂PSF的计算吗？

之前我们聊过MTF的计算，请【阅读原文】，本质上就是对PSF进行FFT嘛，但我们没细讲PSF的计算。今天我们就来把PSF的各种计算方法来梳理一下，并且尽量不涉及太多数学……

首先PSF是Point Spread Function，点扩散函数，即点光源经过系统后形成的光斑。即便是没有像差的理想系统，由于孔径带来的衍射因素，点光源也不能汇聚成一个无穷小的点，只能“散成一滩”PSF。

显然，PSF越小越好，理想状态下是无穷小，这样对不同位置的点光源的分辨率最高。而在没有像差的情况下，光瞳大小决定了PSF的大小。光瞳越大，PSF越小。

我们可以形象地来理解这件事情：光瞳位置的波前携带着成像的“信息”，波前越大，携带的“信息”越多，那么在像面的分辨率也就越高，即PSF越小。光学系统不可能让整个球面波前全部通过，波前会被孔径截断，所以也就造成了极限分辨率受到限制。

说到这儿，还记得台阶函数的傅里叶变换吗？

窄的台阶函数，傅里叶变换后较宽；而宽的台阶函数，傅里叶变换后较窄。而只有当原函数是个常数，即无限宽的台阶函数的时候，其傅里叶变换才是个无限窄的delta函数。

对于光学系统，（不太严谨，但定性地）此处的台阶函数可以对应光瞳处的波前，而傅里叶变换之后函数即其PSF——光瞳越大，PSF越小。

好了，到这里我们已经说出来了PSF最常见的计算方式——对光瞳处的波前函数求傅里叶变换。其背后的原理支持，来自夫琅禾费衍射理论，这可以从任何一本物理光学教科书中查阅。这里，我们来说明一些细节。

光学设计软件Zemax在求FFT PSF时的作业流程：

1. 依据斯涅尔定律，从物面到像面追迹光线（此时获取了点列图）

2. 反向追迹光线到出瞳位置，注意不同视场的参考波前有不同的倾斜

   n  在一些特殊情况下波前计算使用像面或者无穷远处做参考，而非出瞳

3. 通过OPD构建波前，注意需要是含振幅和相位信息复函数

4. 对波前做二位傅里叶变化获取PSF

注意，要满足FFT的适用条件，我们得保证远场。于是FFT PSF仅在小光圈情况下才是充分准确的，按照不同的标准，一般认为F数要大于1.5（也有说2）。

除了FFT PSF之外，光学软件中还有另一种计算PSF的方式：Huygens PSF。它的核心指导原理是惠更斯-菲涅尔原理，即波前子波干涉的思想。

然而光学软件是怎么实现的呢？

其实可能比很多人想象的简单：把光线从物方追踪到像面上，注意记录下光线的强度、相位（OPD）、位置还有角度。每根到达像面的光线被转化为平面波*（默认选项，后文详述）。把像面分割成很多pixel，把到达像面的一系列平面波在每个pixel内的光线根据其相位，进行相干（coherently）叠加。当光线数目足够多的时候，自然就会叠出PSF的峰来。此处光瞳上的每一个子波都被光线来表征了。

由于这个逻辑完全来自于光线追迹，那也就可以很自然地在非序列模式中进行一样的计算。我们是可以让软件在非序列模式里的探测器上进行PSF计算的。

这里放一下经典的Double Gauss 28，三号视场一号波长的序列模式点列图vs 序列模式Huygens PSF vs非序列模式光斑vs非序列模式PSF：

是不是看到序列模式和非序列模式都可以计算出几乎一样的Huygens PSF！

我们来看看Huygens PSF的指导原理和软件实现有什么出入，即蕴含了哪些前提假设？首先显然是标量衍射理论以及基尔霍夫边界条件，电场各个分量满足亥姆霍兹方程，这天然符合光线追迹过程中互不干扰的精神，以及光瞳范围之外的场强度直接为0。

另外还有一层的假设就是远场，以及像面采样区域不能太大（必须良好地聚焦）。本质上惠更斯法应该是做球面波参考的。而前文说过，软件用平面波来表征每一根到达像面的光线，这在足够远场的条件下毫无问题，但在像面比较远但不那么远的情况下，我们需要用球面参考来处理。具体说，就是在出瞳的球面参考波前面上，找到很多个点发出子波（光线），到达像面后，把光线转化为球面波的形式进行相干叠加来计算PSF。显然平面波参考是一个在足够远场情况下的球面波参考的退化形式，球面波参考可以处理稍微不那么远场一点或者说中远场的情形。Zemax软件是可以帮助用户自动选择用平面还是球面参考的，即在中远场条件下可以基本放心地交给Zemax算。

如果要搞定近场的情况，那就得用上最根本的Rayleigh-Sommerfield边界条件了，这个嘛，Zemax还没有……

最后还有一点常被人忽略的，不论FFT PSF还是Huygens PSF的计算要求在出瞳处均匀采样的。如果系统不用ray aiming，入瞳均匀采样；如果用了ray aiming，孔径光阑被均匀采样，但都不保证出瞳均匀。如果出瞳的光瞳误差极大的话，也会造成问题。

这里再唠叨一下，标量衍射理论，不是傍轴近似。傍轴近似是一个本质上和标量衍射不相关，但大体上说标量衍射理论限定更死的限制条件。换句话说标量衍射在非近轴条件下也可以成立，标量衍射理论可以适用的光线角度也比傍轴近似范围大得多。Huygens PSF的计算方法中，不同方向电场最终在像面上的相干叠加被忠实记录的，只是在传播过程中不同方向分量的电场之间的效应被忽略了。Huygens方法比FFT以及POP能处理的角度大。在这些漫天乱飞的术语中，我还见过“标量衍射理论框架下的Rayleigh-Sommerfield矢量光场计算”这种说法，并且不能认为他说错了= =|||

【全文完】

起这个标题显然我是在吹牛，因为彻底懂PSF计算是一件很高难度的事情，尤其是近场的情况。所以我也不真的懂PSF计算，只是在我的知识框架内尽可能整理一小部分内容。