差分光线追迹的应用 一阶特性 差分光线数据通常用于计算光学系统中的一阶特性（实际上，一阶特性通常用差分光线数据来定义）。对于旋转对称光学系统来说，通常取沿系统轴线传播的光线作为基光线。在这种情况下，系统的对称性使得差分光线信息的矩阵（2*2矩阵）A，B，C，D被简化为标量A，B，C，D。 如图4所示，差分光线信息可以用于计算我们熟悉的一阶量，如近轴像的位置和放大倍率。
图4：光学系统中利用差分光线信息来确定近轴像的位置和放大倍率的示意图
轴上光线的差分光线信息同样可以被用来确定光学系统中基点的位置，并确定光学系统中每个表面上光斑的近似尺寸。 非对称系统的情况在细节上会更加复杂，但在概念上类似：一根源自物体中心的光线穿过孔径光阑的中心被选作基光线，然后计算这根光线的差分光线数据。此时，我们可以计算出像的位置和焦点等数据，但也可以从差分光线信息中推导出来。
高斯光束传播 高斯光束传播的建模是物理光学领域中的一个问题。尽管如此，几何光学——特别是差分光线数据——也可以用来模拟高斯光束的传播。我们考虑一下，高斯光束入射到一个轴对称的系统，假设该光束开始时的宽度为w，波前半径为R，在通过系统传播后，该光束的宽度为w’，波前半径R´，如图5所示。再进一步考虑，假设我们已经计算了与系统轴相对应的基光线的差分光线信息。这种差分光线信息可以用来确定出射光束参数，也就是出射光束参数相对于入射光束参数的函数。 这通常通过定义一个复曲率半径q来实现，如下所示:
其中λ是高斯光束的波长，i是-1的平方根。由入射高斯光束的信息和差分光线信息可求出在系统中传播后的高斯光束的复曲率半径：
出射高斯光束的宽度和它的波前曲率半径可以通过复曲率半径算得。 最后，需要注意的是，当高斯光束不是沿轴传播的时候，计算会更加复杂，但仍然只涉及高斯光束的中心光线的差分光线信息。
图5：高斯光束在旋转对称系统中传播
确定公差 作为光学系统装配制造公差过程的一部分，有必要知道当光学系统受到扰动时，光线如何变化。TOR——作为CODE V的快速公差功能——通常是通过考虑波前的变化来确定公差的。因此，我们想要了解的是从一个给定的物点到出瞳处光程长度（OPL）的变化，而不是光线在图像上位置的变化。当光学系统受到扰动时，通过收集各种光线的OPL的变化量，就可以确定图像质量的变化。基于这些变化，就可以分配可接受的制造公差了。 乍一看，似乎差分光线信息对这一过程是有用的。如图6所示，图中显示一个光学系统，其中的一个表面被扰动（例如曲率从c变为了c+δc）。在无扰动系统和受扰动系统中，都显示了从物体上一点出发并通过出瞳上某一点的光线。虽然这幅图可以表明，差分光线信息有助于确定光程长度的变化，但根据费马原理，本文定义的差分光线数据并不是必要的。虽然细节有点复杂，但事实证明，仅从表面高度的变化（图6 中标注的h）以及未受扰动光线的入射角和折射角就可以很好地估计出OPL的变化：
其中n（n’）是表面之前（后）介质的折射率。严格的讲，差分光线信息并不用于此计算，但这种OPL变化的近似形式是CODE V公差的一个组成部分，通常被认为属于差分光线追迹的范畴。
图6：扰动系统的图解。显示了通过扰动系统的光线和通过无扰动系统的光线。这些光线都是从同一个物点出发的，并通过出瞳中的同一点。
请注意，优化过程和公差分析之间是存在联系的。差分光线信息也被用于某些CODE V的误差函数的优化中。例如，差分光线信息的使用使得CODE V在利用基于MTF的误差函数进行优化时实现了显著的效率提升。
计算差分光线信息 计算差分光线信息最简单的方式是追迹一组在基光线附近的真实光线，并使用有限差分法来估计差分光线的信息。这类似于通过有限差分法去计算函数的导数，如图7所示。 对于对称系统来说，基光线沿轴传播，需要另外两条邻近的光线来确定差分光线信息的数据。但更多情况下，需要4条额外的光线（虽然与传统的有限差分相似，但更多的光线可以用来提高估计的准确性）。 虽然有限差分法为计算差分光线信息提供了最简单的方法，但它需要指定一个适当的导数增量(即图7中бx的模拟)，对于许多光学系统来说，通过精确计算差分光线信息可以解决这一问题。还有一些方法通常计算效率更高，但需要更多专业的代码(例如，使用不同的代码计算一个非球面的差分光线信息，而不是一个球面的差分光线信息)。
结束语 差分光线追迹的研究可以追溯到一百多年前，而计算差分光线信息所涉及的技术已经被大家所了解。除了上面讨论的工作，很多人为这个领域做出了许多贡献。这些技术被Synopsys的科学家们很好地理解，并已被纳入CODE V中用于上述应用，并用于差分光线信息能够提供计算优势的其他应用。
本文原作者： Bryan D. Stone Ph.D. R&D Engineer, Optical Solutions Group, Synopsys, Inc |
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