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概率论Q&A

2021-12-20 10:38| 发布者：Davis| 查看：954| 评论：0|原作者: 小小光08

Q：现实生活中，你有没有遇到过把局部随机性转变为整体确定性的例子呢?

A：这样的例子有很多。读一本书，做一次运动，也许有效，但大部分情况下，都看不出很大的改变。读完一本书，你可能会感觉这本书对自己帮助非常大，可能只是明白了一些道理，但也可能没有任何收获，这是局部的随机性。同理，今天一次运动，未必就能让你减少脂肪，让你健康。但是从长期来看，读书和运动是这个世界上唯二的、从整体上给人生带来确定性改变的事情。

世间的事情，分为我们可控的和我们不可控的。尽人事、听天命也许是一种好的选择。读书和运动大概是最适合“尽人事”的事情。其他的事情可能会不如人意，但你读过的书、做过的运动，总不会辜负你。

Q：微信的拼手气红包，请问我们抢到的红包金额是随机的吗?

A：人们做过很多次的微信红包测试，发现了其中的一些规律。最常见的规律是，最后一个红包的金额普遍偏高。大概的逻辑是，微信红包在开始随机生成红包金额时，会用总金额除以红包个数得出一个平均值，再根据这个平均值设定每个红包金额的随机范围。如果前面几个红包的金额都小于平均值，这个误差就会被累积到最后几个红包。

这也说明，计算机程序设置的随机，往往都是伪随机。但对抢红包的我们来说，因为抢到的红包金额是不可预测的，接近于效果随机。也就是说，针对不同的信息获取人，随机有不同的表现形态。当然，即便你老谋深算地想去抢最后一个红包，愿望也往往会落空。抽象一点说，不涉及物理随机产生装置一一比如硬币、骰子、书本等产生的随机，大都是伪随机。

Q：现实生活中，你遇到过貌似是相互独立，其实是相互影响、相互联系的事件吗?

A：举一个好玩的例子。美国有个叫OKcupid的相亲网站，对长相和性格的关系做过一个数据分析。理论上，长相的美丑和性格的好坏相互独立，并没有什么关系。但是，在这个相亲

网站上，男女双方可以为对方的颜值和性格分别打分，根据打分结果，颜值和性格是正相关的：颜值高的人，对方认为他/她的性格也好…这说明，我们其实往往是以貌取人的。

Q：你能用身边的例子来说明，哪些情况下用定义法定义概率，哪些情况下使用频率法和迭代法定义概率。

A：我们一般把事件分为四种：有信息的单次决策，没信息的单次决策，有信息的多次决策，没信息的多次决策。

第一种，有信息的单次决策。比如，决定要不要坐飞机，你要去了解飞机的安全程度；看孩子发育是不是正常，你可以去查15岁孩子的平均身高；玩德州扑克时，了解起手双A的胜率；判断公司下个月的销售预期，去了解过去12个月公司的销售数据和行业的销售状况…这些都是有信息的单次决策。这时候，我们最常使用的就是频率法，通过整理频率，来判断概率。

第二种，没有信息的单次决策。比如你考试遇到一道非常难的单选题，别说四个答案你看不懂，连问题你甚至都看不懂。这时候，你没有信息，没有数据，四选一，这时对你来说，每一个选项正确的概率就是1/4。再比如观看奥运会比赛，你刚刚打开电视，一场比赛六个选手你都不认识，那么让你猜哪个选手会夺冠，这就是平均概率，每个人都是1/6的夺冠概率。这类没有信息的单次决策，这时候，就要使用定义法。

第三种情况，有信息的多次决策。比如人工智能语音识别，这是一种多次决策过程，机器听到“tianqi”这个音时，判断究竟是“天气”，还是“田七”，这不是一次决策的过程。一开始，机器会按照频率法，看所有音频中，或者所有这类的音频中，谁的概率更大，这是频率法；然后再根据后面听到的其他内容，修改前面这个判断。比如，一开始听到的是“今天tianqi”，用频率法，发现天气比田七更常见，那么语音识别的显示就是“今天天气”，后面接着听到的就是“价格又涨了"，根据上下文出现的频率关系，前面“tianqi”是中草药田七的概率上升了，这时候又修改前面的天气，变成中草药的田七。你看，有信息的多次决策，就是频率法配合上迭代法一起使用。这是我们日常科学决策最常见的情况。

第四种情况，无信息的多次决策。这类情况是指一开始没有信息，但是符合多次决策的场景。比如当你最开始听说，美国要在2050年开展火星登陆，你对此并没有额外的知识和信息，那判断这件事成功的概率就用定义法，一半对一半吧!然后随着发展，会有更多信息，你看到了技术上的进展报道，看到了尝试发射的行动，看到了各种相关的数据和研究，你慢慢开始调整更倾向于能成功或者不能成功，这时候就是无信息的多次决策，是定义法加上迭代法一起使用。

所有的决策过程大体符合上述四种情况中的一种或多种的组合，你可以灵活地使用一种或多种方法。概率统计就是方法的工具箱，不同情况要使用不同的趁手的工具。

Q：你有过因为没有准确地翻译现实问题，而导致失误的经历吗?

A：这样的问题有很多。据说，爱因斯坦曾说，如果有人给我一个小时让我解一道题，我会花55分钟搞清楚这个问题到底在问什么，然后花3分钟进行逻辑思考，花1分钟写下答案，最后1分钟向出题者做一个简单解释。其实，好问题远比好答案更重要，这一点，适用于所有领域。

Q：你遇到过要用频率度量的概率问题吗?这些度量有标注限定条件吗?

A：绝大多数统计报告，都是用频率度量概率，报告中都会标注误差和置信空间，比如常见的3%的误差范围和95%的置信空间。

跳出概率来看这个问题。我们会做很多数学题，但是数学应用水平的高低，看的不是你会不会做题，而是你是不是真的理解数学在现实中的应用。理解的前提是，你知道所有数学公式的条件。

比如，给你一把直尺，你能量出张A4纸的周长吗?听起来好像很简单，但仔细想想真的简单吗?你确定一张现实中的A4纸的边缘是直线嘛?

在高倍显微镜下，A4纸的边缘其实是弯弯曲曲的曲线。好，给你一个高倍显微镜下的曲尺，能不能量出它的周长?其实，可能也不能，因为纸的边缘并不连续，它不过是一堆分子的聚合物，分子和分子之间一定是有间隙的。如果边缘不连续，哪里来的周长？

数学中，长方形周长是一个简单的事物，但我们在现实中应用时，往往会无视数学的前提。周长存在的前提是连续、直线、封闭，在不同的现实问题下，这个条件并不一定成立。

Q：报纸上说，你所在城市的一家医院，这周出生的孩子中90%都是男孩，这太奇妙了，真是一家有魔力的医院。根据你的概率知识，这种现象最可能出现在什么样的医院呢?

A.一定是城市里最大、最著名、最拥挤的妇幼医院。他们有很多经验，已经成功掌握了生男孩的法门

B.大概率是一家很小的私立医院或社区医院。这类医院中出生的孩子数量很少，所以性别会有波动，某周出现90%的男孩并不奇怪

C.大医院和小医院出现这种情况是相同概率的，所以无法分辨医院的情况

A：选B。根据大数定律，当试验次数越来越多的时候，频率才会逼近概率。在试验次数较少的时候，频率会有波动，可能会远离概率。也就是说，小规模数据更容易受到随机的影响而出现波动。所以，出生孩子数量较少的医院，更容易形成波动。

Q：一个掷骰子游戏的规则是这样的，掷出1点得1元，掷出2点得2元，以此类推。如果玩这个游戏每局都要付钱，请问付钱金额不超过多少时，这个游戏才值得玩?

A：数学期望E=(1+2+3+4+5+6)x(1/6)=35(元)，故付钱金额不超过3.5元时，游戏才值得玩;

Q：在你的经历中，有哪些事情从整体期望上看是不值得做的，但按照你自己的价值判断，却是值得的呢?

A：几乎所有的创业行为，从整体期望上来说，都是不值得的，但对每个伟大的创业者来说，却都是值得的。

例如，每当有自己主队比赛时，如果有体育彩票出售，我都会买主队输。对购买者来说，体育彩票的整体期望是负的，我的主队每一场发挥也是随机的，但是我认为是值得的。因为，如果主队嬴了，我很开心，彩票就当是为体育事业做贡献了;如果主队输了，至少主队还帮我赚了钱。

Q：假设有一种基金，80%的概率是获得10%的收益，20%的概率是亏损15%，那么这种基金的方差是多少?

A：先计算数学期望，E=10%×80%+(-15%)x20%=5%，然后计算方差，D=80%×(10-5)^2+20%×(-15-5)^2=100。

Q：投资界有个加倍投注法一一只要输一次，就加倍投注，直到赢为止，这是一种必胜的手段吗?

A：加倍投注策略，也叫马丁格尔策略。这个策略看上去很有效，但实际上完全没有用。

(1)实际问题

先来看实际问题。我们知道，所有赌场的所有玩法，在投注金额上都是有限制的，赌场真正必胜的基础是限制最高投注额，让风险可控。这里的风险就是在赢光你的钱的情况下，不断加倍投注，很快你就会超过赌场的限额。比如在一般赌场，一楼大厅的轮盘赌都是最少10美金，最高500美金。如果你连输6轮、输了630美元后，你就没有办法再参加第7轮，也就是翻倍押640美金了。

尽管连输6局的概率是2%，看上去是一个非常小的概率，但是对于每天连续进行无数轮的轮盘賭的賭场来说，2%的概率是经常能看到的事情。

要知道，概率虽小，只要有足够的盘数，终会发生，就像彩票大奖的概率虽然只有千万分之一，但是每年仍然有几十人上百人中奖。

(2)根本性问题

加倍投注策略的根本性问题是，不停地加倍投注，累积投注的金额增长过快，会带来非常严重的后果。你还记得“棋盘麦粒”的故事嘛?在棋盘的第一个格子放1粒麦子，第二个格子放2粒麦子，以后每一格放的麦粒都是前格的两倍。要装满棋盘上的64个格子，需要的总麦粒数，超过了全世界数千年的粮食总产量。

指数的增长太快。想要实施加倍投注策略，即使赌场没有限额，也会有另一个限制条件一一你要十分富有。这种富有，是指相对于赌场要十分富有才行，这才是最荒谬的。你足够有钱，还要花时间、花足够的钱，为了不断地去赢10美金…因为每次获胜，最终也是只赢了第一次的本金10美金。

Q：民国时期是一个百花齐放、人才辈出的黄金年代，很多人希望自己能穿越回民国。根据概率分布的内容，请你分析一下，假如我们穿越回民国，更有可能成为林语堂、张爱玲这样的天才作家，还是骆驼祥子这样的劳苦大众?

A：根据概率论，你穿越回民国后极大可能会是文盲，成为骆驼祥子的概率，是你成为风流的新月派诗人的百万倍，至于很多人想象的民国文艺男青年和女青年什么的…醒醒吧，该起床拉车了。

Q：国家公布居民收入数据时，就会有人说自己的收入被平均了，有人甚至怀疑数据有问题。你能用这一节的知识分析一下吗?

A：不同的分布有不同的最具代表性的值。对称的单峰分布，比如正态分布，最具代表性的值是均值；对于居民收入这样的幂律分布，中位数才是最具代表性的值，平均值并不能代表真实的收入分布情况。

Q：日常生活中，你还发现哪些事情是服从正态分布的?它们又受哪些随机因素影响呢?

A：智商大部分情况可能服从正态分布，受到遗传、后天教育、环境等等因素的影响。但对智商的检测，也就是智商测试的IQ值是典型的服从正态分布。这是因为IQ测试是人为地标准化了测试结果，把所有人的测试结果标准化成一个均值为100，标准差为15的正态分布。其实现实生活中完全的正态分布是罕见的，中间有大量的人为因素。比如很典型的公司中员工的能力，有很多因素，学识、沟通、性格、团队关系、工作性质等等都会影响员工能力的表现，而且整体上能力似乎也是正态分布的调调，但是，有经验的管理者都知道，团队中特别有能力的人，他的绩效或者工作效果是远远超过其他人的，甚至可能是好几个能力一般的同事的绩效总和。这种现象很普遍，在数据的极端值上，往往是正态分布的基础上叠加了幂律分布。这在金融领域也很常见，平时股票涨跌是正态分布，可是股灾的时候，在极端情况会出现原本在正态分布中不可能出现的情况，这时候，股票就不再是单一的正态分布了，在极端值上可能是另一种分布。因为影响股灾的因素不再是多个独立因素了，追涨杀跌说明决策是有相关性的，这时候也就不是正态分布了

现实世界中，一个真实的事情是多个概率分布的融合体，正态分布为主体、两端集中了其他分布是一种现实常态。

Q：第二次世界大战时德军曾轰炸伦敦，如果你是一个数学家，能不能通过分析炸弹落点，来判断德军是有针对性地轰炸，还是完全没有情报的随机轰炸呢?

A：将伦敦分为多个面积相同的区域。如果是随机轰炸，每个区域受到的炸弹数量应该符合泊松分布。反之，如果每个区域的炸弹数量不符合泊松分布，那么就是在有情报的基础上、有针对性地轰炸，并且可以分析哪些区域出现异常。

Q：关于假设检验，下列说法错误的是?

A.假设检验能让我们依靠有限的数据得到靠谱的结论，推动了很多学科的发展

B.在假设检验里，很多领域常用的显著性标准都是5%

C.使用假设检验时，零假设和备择假设必须是互斥的

D.因为P值要特别小才能推翻零假设，所以假设检验的结论一定是正确的

A：选D。假设检验的结论是有条件正确，或者说带引号的“相信”是正确的。

Q：2020年天猫双十一期间的成交额达4982亿。有人怀疑数据造假，因为它与二次或三次函数回归非常吻合。你怎么看待这个问题的?

A：结论是数据无法验证。如果数据和二次或三次函数回归非常吻合，我们需要知道，这种吻合出现的概率究竟是多少?这是很多人并不了解的。对于有限数据，用二次三次函数精确拟合的概率是远高于5%的置信度的

Q：美国某小镇昨夜发生了凶杀案，小镇居民非常紧张。警长跟大家说：“考虑到近10年来小镇只发生过2次凶杀案，这之后应该很久都不会再发生凶杀案了。“你站出来说：“虽然之前平均5年才发生一次凶杀案，但是下一次凶杀案的发生概率依旧是稳定的。这一次凶杀案并不会让小镇平静5年之久，根据泊松分布，平均一年内发生凶杀案的概率还是20%。“警长淡定地说：“是的，但是这个概率依旧很小，我们小镇还是很安全的，大家放轻松，正常生活吧。请问，警长的说法正确吗?我们还需要了解什么信息?

A：这也是一个常见的认知错误。虽然小镇平均5年才发生一次凶杀案，但是如果昨夜的案犯仍然在逃，小镇再次发生命案的概率将陡然提高，因为案犯在逃“这个条件改变了凶杀案发生的概率。这个前提条件的变化，时常会被我们忽略飞机失事的概率是几百万分之一，非常小，可是为什么每次飞机失事后机场都要关闭呢?这是因为，一旦飞机失事，就说明某些因素可能发生改变：也许是机修组太疲劳、检查不利，也许是飞机跑道不平整，也许是天空鸟群异常，也许是食堂食物有问题导致驾驶员食物中毒…既然某些因素发生了变化，下一次在这个机场飞机失事的概率就可能陡然增加，这时候就需要关闭机场，寻找究竟是某些因素发生了变化，还是仅仅出现了罕见的意外情况。

说到底，条件概率告诉我们，尽可能多地掌握已知条件才能提高预测的准确率。

Q：日常生活里，有些人看到喜鹊就开心，看到乌鸦就难受，还有人相信“左眼跳财，右眼跳灾”。你能用贝叶斯推理解释一下这样的行为吗?

A：所有所谓迷信活动，大都是曾经具有一定相关性的。比如乌鸦会经常出现在腐尸附近，这必然是灾难的事情，看到乌鸦难受是很正常的。对现在来说，这是历史、文化甚至可能是进化过程的先验概率，但是我们要不断调整我们的判断，现在出现乌鸦，也许并没有什么不同。

Q：乳腺癌是一种很常见的疾病，假设发病率是25%左右。小叶在医院检查时，发现自己是阳性。我们知道，检查结果会有误差，已知乳腺癌检查的准确度是90%，那么小叶患乳腺癌的概率是多少呢?

A：假设有1000人，因为乳腺癌的发病率为25%，所以人群中有250人患乳腺癌，750人不患病。患病的250人去检查，有90%正确率，因此共225人被告知患病，25人被告知健康。同样，未患病的750人去检查时，有675人被告知健康，75人被告知患病。所以，1000人中被告知患病的人数为225+75=300人。但这300人中，真正患病的人数为225人，因此小叶真正的患病概率为225/300=75%。

为什么这个例子中的数据反差没有那么大?因为我希望你们不要被贝叶斯常用的那种反直觉的例子害了，误以为检查结果没什么用。

其实，检查结果能把患病概率从万分之一，精确到十分之一，这已经是千百倍的提升，这说明检查结果是阳，更何况，你是因为有症状才去的医院，医生初步询问之后才让你去做检查。检查不是所有人都参加的，理论上大部分是有症状才会去检查，现实中通过检查确定的发病率，可能远远大于计算得出的发病率。

当然，发现诊断阳性，也不要觉得完蛋了，或是觉得没问题，而是应该去检查第二次，这是最重要的手段和措施。

Q：假设有一个家庭，有两个孩子，现在告诉你其中有一个男孩，请问另一个也是男孩的概率是多少？

A:很多会不假思索地回答：1/2 啊，因为另一个孩子要么是男孩，要么是女孩，而且概率相等呀。但是实际上，答案是 1/3。

上述思想为什么错误呢？因为没有正确计算样本空间，导致计算错误。有两个孩子，那么样本空间为 4，即哥哥妹妹，哥哥弟弟，姐姐妹妹，姐姐弟弟这四种情况。已知有一个男孩，那么排除姐姐妹妹这种情况，所以样本空间变成 3。另一个孩子也是男孩只有哥哥弟弟这 1 种情况，所以概率为 1/3。

为什么计算样本空间会出错呢？因为我们忽略了条件概率，即混淆了下面两个问题：

这个家庭只有一个孩子，这个孩子是男孩的概率是多少？

这个家庭有两个孩子，其中一个是男孩，另一个孩子是男孩的概率是多少？

概率问题是连续的，不可以把上述两个问题混淆。第二个问题需要用条件概率，即求一个孩子是男孩的条件下，另一个也是男孩的概率。

通过这个问题，读者应该理解两个概率计算原则的关系了，最具有迷惑性的就是条件概率的忽视。为了不要被迷惑，最简单的办法就是把所有可能结果穷举出来。

Q：一个屋子里需要有多少人，才能使得存在至少两个人生日是同一天的概率达到 50%？