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应用光学012---微小线段理想成像的条件-余弦条件

2021-12-20 10:41| 发布者：Davis| 查看：1314| 评论：0|原作者: 小小光08

摘要：本文介绍了应用光学中微小线段理想成像的条件，包括余弦条件、阿贝条件和赫谢尔条件。这些条件可以帮助我们设计光学系统，使一个位于确定位置，并垂直于光轴的物平面，成为接近理想的像。

假定作为物的微小线段AB，通过光学系统后，理想成像于A′B′，如图1所示：

图1：任意光学系统微小线段理想成像的余弦条件

根据等光程条件，A、A′和B、B′这两对共轭点应同时满足等光程条件。

AI和BJ为过A、B两点，与AB成θ角的任意两条平行光线，它们的共轭光线为I′A′和J′B′。I′A′和A′B′的夹角为θ′。经过B和B′，分别作AI和I′A′的垂线BH和B′H′。

我们可以把BH看成是平行光线AI和BJ的波面，它们的出射波面一般来说不再是一个平面波，但是由于AB和A′B′很小，因此，可以近似地用过B′点的垂线B′H′代替实际波面，这样引起的误差对A′B′来说是二阶或高阶小量，可以忽略。

根据马吕斯定律，两波面之间的光程相等，因此，有：

进而由图1中的三角关系可以推导出：

由于A、A′和B、B′均符合等光程条件，所以，无论光线和AB的夹角θ如何变化，光程[AA′]和[BB′]均为常数。因此，二者之差也应该是和θ无关的常数，由此可以得出微小线段理想成像的条件如下：

上式中，c为一个与θ无关的常数，以上条件称为余弦条件。

需要注意的是，余弦条件，都具有二阶或高阶微量的误差，所以只能适用于微笑线段的情况。

微小线段理想成像的余弦条件，并没有对光学系统作任何限制，因此，它对一切光学系统都适用。

（1）垂直于光轴的微小线段理想成像的条件——阿贝条件

图2：垂直于光轴的微小线段理想成像的阿贝条件

假定物体AB为垂直于共轴系统光轴的微小线段，如图2所示，它通过光学系统后理想成像于AB′，由于共轴系统的对称性，A′B′也一定和光轴垂直。

由A点发出的任意一条光线，与光轴的夹角为U，其出射光线和光轴的夹角为U′，由图2得到：

然后代入余弦条件得：

c为与U角无关的常数，因此，可以用任意一条已知光线的U和U′代入，可以确定c的值。

根据共轴系统的对称性，沿光轴入射的光线和系统中所有曲面垂直，光线不改变方向，因此U=U′=0，进而可以得到c=0。

这样可以得到：

上式就是阿贝条件或正弦条件，它是共轴系统中垂直于光轴的微小线段理想成像的条件。

由于共轴系统的对称性，任意过光轴的截面内，成像系统相同，因此，它同样是保证位于共轴系统的光轴周围，和光轴垂直的微小平面理想成像的条件，因此也被称为齐明条件或等明条件。

（2）与光轴重合的微小线段理想成像的条件——赫谢尔条件

图3：与光轴重合的微小线段理想成像的赫谢尔条件

假定微小线段AB为光轴重合，它所成的像A′B′也一定位于光轴上，如图3所示。

由图3得到：

然后代入余弦条件得：

代入U=U′=0，进而可以得到：

再代入余弦条件，并使用半角公式换算，可得：

上式称为赫谢尔条件，它是保证光轴上的微小线段理想成像的条件。

一般来说，阿贝条件和赫谢尔条件不能同时满足，即共轴系统不能使整个空间理想成像。

我们设计光学系统时，只能根据不同仪器的具体要求，应用各种介质和曲面构成实际光学系统，使一个位于确定位置，并垂直于光轴的物平面，成一接近理想的像。

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