ZEMAX详解（4）---MTF（调制传递函数）

（1）调制传递函数

任何二维物体g(x, y)都可以分解成一系列沿x方向和y方向的不同空间频率(vx，vy)的简谐函数(物理上表示正弦光栅)的线性叠加：

式中Ｇ(vx ,vy) 是物体函数g(x, y)的傅里叶谱，它表示物体所包含的空间频率 (vx ,vy) 的成分含量，其中低频成分表示缓慢变化的背景和大的物体轮廓，高频成分则表征物体的细节。

当该物体经过光学系统后，各个不同频率的正弦信号发生两种变化：首先是对比度下降，其次是相位发生变化，而相应的Ｇ(vx ,vy)变为像的傅里叶谱，这一综合过程可表示为：

式中H (vx ,vy) 称为光学传递函数，它是一个复函数，可以表示为：

它的模m(vx, vy) 被称为调制传递函数（modulation transfer function, MTF），相位部分f (v_x，v_y)则称为相位传递函数（phasetransfer function, PTF）。

对像的傅里叶谱再作一次逆变换，就得到像的复振幅分布：

空间频率是用一种叫“光栅”的目标板来测试，它的线条从黑到白逐渐过渡，如下图：

相邻的两个最大值的距离是正弦光栅的空间周期，单位是毫米。空间周期的倒数就是空间频率(Spatial Frequency)，单位是线对/毫米(lp/mm )。正弦光栅最亮处与最暗处的差别，反映了图形的反差(对比度)。设最大亮度为Imax，最小亮度为Imin，我们用调制度(Modulation)表示反差的大小。调制度m定义如下：

很明显，调制度介于0和1之间。显然，调制度越大，反差越大。当最大亮度与最小亮度完全相等时，反差完全消失，这时的调制度等于0。

光学系统的调制传递函数表示为给定空间频率情况下，像和物的调制度之比：

MTF（vx，vy)表示在传递过程中调制度的变化，一般说MTF越高，系统的像越清晰。显然，当MTF=1时，表示像包含了物的全部信息，没有失真。但由于光波在光学系统孔径上发生的衍射以及像差（包括光学元件设计中的余留像差及装调中的误差），信息在传递过程中不可避免要出现失真，总的来讲，空间频率越高，传递性能越差。除零频以外，MTF的值永远小于1。平时所说的光学传递函数往往就是指调制度传递函数MTF。下图给出一个光学镜头的MTF曲线。

（2）ZEMAX中的调制传递函数（MTF）

MTF是目前使用比较普遍的一种像质评价指标，称为调制传递函数。它既与光学系统的像差有关，又与光学系统的衍射效果有关，是光学传递函数（OTF）的模。

MTF图，横轴表示像面上的空间频率，单位：1/mm，即每毫米多少线对，纵轴表示对这些黑白细实线物分辨的调制度。

任何一种物信息，都可以细分到点，也可以细分到线，调制传递函数（MTF）的物理意义是：应用傅立叶变换原理与光学系统相干成像理论，计算出镜头对逐渐变细的黑白线对分辨的调制度。

     根据计算模型的不同，MTF分为三类：

FFT MTF－基于快速傅立叶变换，先计算PSF（点扩散函数），再由PSF → MTF；

Huygens MTF－基于惠更斯面包络原理，先计算岀瞳面上的光瞳函数，然后把岀瞳面细分，看成次级光源，再向像面传递；因此计算惠更斯传函时，要将出瞳面细分网格、也将像面细分网格采样；

几何MTF－基于几何点列图，转化成子午面或弧矢面上的线扩散函数，再经傅立叶变换，得到调制传递函数。

以上几种MTF，都可用于客观评价成像质量，由于计算模型不同，结果出现较小差别，但变化趋势及量值不会差别很大，使用时要注意以下概念的区别：（1）计算速度上看，FFT MTF最快，HuygensMTF和Geometric MTF速度较慢，但在初始结构像质太差（如波差PV＞6λ）时，FFT MTF计算会显示出错，这很正常，此时几何传递函数仍可进行正常计算，只是传函值太低；（2）从网格采样看，FFT MTF和GeometricMTF只需对像面（或物面）空间坐标进行2”×2”网格采样，但Huygens MTF因计算模型差别，还要增加对岀瞳面网格采样，这是导致HuygensMTF计算速度变慢的主要原因； （3）FFT MTF和Huygens MTF都能计算出Surface MTF（即3D－MTF），但GeometricMTF一般只计算子午与弧矢面上MTF，不提供SurfaceMTF。

在使用MTF进行像质评价时，要注意以下几个方面问题：

（1）对每一种镜头系统，需要物面特征、探测器像素与响应情况，确定评价时的特征频率和对比阈值，确定特征频率处的MTF值至少为多少？否则无法确定MTF曲线的好坏；截止频率（νc）跟镜头系统的F数及工作波长（λ）有关，即νc＝1/Fλ；

（2）察看MTF数值时，要看多色MTF在每一个视场处的子午和弧矢传函曲线，并注意选择适当的离焦量；

（3）MTF值跟波像差、点列图等像质指标一样，只反映成像清晰度，不反映变形，所以要检查物像相似程度，还要再看畸变曲线。

下图是某一投影物镜的复色MTF曲线：

ZEMAX在MTF曲线计算中，还可以绘制Through Focus MTF及MTF vs Field曲线，通过查看不同的视场、某一离焦量范围内特症频率处的传递函数值，由此可选择恰当的离焦量。

一般情况下，无须查看截止频率处的传函值，因为实际评价像质时，会选择比特征频率稍大一些的最大频率范围，对常规成像镜头系统，最大频率可选50/mm，或者100/mm左右。