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应用光学015---单个折射球面的成像倍率、拉赫不变量

2021-12-14 14:37| 发布者：optkt| 查看：2165| 评论：0|原作者: 小小光08

摘要：本文介绍了单个折射球面的成像倍率和拉赫不变量，其中包括垂轴倍率、轴向倍率和角倍率的定义和计算方法。同时，本文还介绍了三种倍率之间的关系和拉赫公式，以及物像空间不变式的概念。

折射球面对有限大小的物体成像时，就产生了像的倍率，像的虚、实、正、倒的问题。

1.垂轴倍率β

图1：垂轴小线段通过单个折射球面成像

在折射球面的近轴区，如图1所示，垂轴小线段AB（也可以理解为垂轴小面积），AB通过折射球面成像为A'B'。如果由点B作一条通过曲率中心C的直线BC，显然，该直线应通过点B。

BC对于该球面来说也是一个光轴，称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不发生折射地到达像点B'。

近轴区的物高AB以y表示，像高以y'表示。因为倒像，故A'B'=-y。

像的大小和物的大小的比值称为垂轴倍率，以希腊字母β表示求为

由图1中的相似三角形ABC和A'B'C'，可得

当求出轴上一对共轭点的截距l和l'以后，通过式(2)，可以求得通过该共轭点的一对共轭面上的垂轴倍率。

若β<0表示成倒像，则β>0时成正像。

由式(2)可知，垂轴倍率仅决定于共轭面的位置，在一对共轭面上，倍率为常数，故像必和物相似。

当β<0时，l和l'异号，表示物和像处于折射面的两侧，像的虚实必须与物一致。当β>0时，l和l'同号，表示物和像处于折射面的同侧，像的虚实与物相反。

当|β|>0时，为放大像，即像比物大；当|β|<0时，为缩小像。

2.轴向倍率α

对于有一定体积的物体，除垂轴倍率外，其轴向也有尺寸，故还有一个轴向倍率。轴向倍率是指光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的关系。

如果物点沿轴移动一个微小距离dl，相应地像移动dl'，轴向倍率用希腊字母α表示，定义为

式(3)两边乘以n/n'，得

则有

由式(4)可知，如果物体是一个正立方体，则因垂轴倍率和轴向倍率的不一致，其像不再是正立方体。

由式(4)还可以看出，折射球面的轴向倍率恒为正值，这表示物点沿轴移动，其像点向同样的方向沿轴移动。

式(3)和式(4)只能适用于dl很小的情况下。

图2：物点沿轴移动有限距离的示意图

如果物点沿轴移动有限距离，如图2所示，则此距离显然可以用物点移动的始末两点A₁和A₂的截距差l₂- l₁表示，相应的像点移动为l₂'-l₁'，这时的轴向倍率α可表示为

3.角倍率γ

在近轴区以内，通过物点的光线经过折射后，必然通过相应的像点，这样一对共轭光线与光轴的夹角u'和u的比值即为角倍率，用希腊字母γ表示为

4.三个倍率之前的关系

三种放大率并非彼此独立，而是互相联系的。

式(7)就是理想光学系统中同一对共轭面上三种倍率之间的关系。

5.拉格朗日-赫姆霍兹不变量

物像空间不变式也就是一般所说的拉格朗日-赫姆霍兹不变式。

式(8)称为拉格朗日-赫姆霍兹不变式，简称拉赫公式。其表示为不变量形式，它代表实际光学系统在近轴范围内成像的一种普遍特性，即在一对共轭平面内，物高y、孔径角u和折射率n乘积是一个常数，用J表示。

J的单位应是rad·mm，一般不给出单位，只给出数值，在具体运算中要考虑单位。

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