相对照度计算

摘要

光学系统中的相对照明是许多变量的函数，包括畸变，渐晕和光瞳像差。 它可以通过使用适当的坐标系，确定方向余弦空间中出射光瞳的大小来获得。 通常，通过跟踪穿过系统的光线束来完成计算。 在许多情况下，可以通过跟踪一根轴上光线和三根轴外光线来准确计算相对照度。

坐标系统

计算相对照度的关键是根据方向余弦定义出射空间中的限制光线。这些限制光线就是那些刚好穿过系统限制孔边缘的光线。 对于没有渐晕的系统，孔径光阑通常是限制表面。 但是，通常不同的光线将受到不同表面的限制。 对于有障碍物的系统，也必须考虑受障碍物限制的光线。

图1描述了方向余弦的定义。坐标系的原点在Q'处，z轴沿光轴方向。点Q'是主光线与像表面的交点。点E'是系统出瞳沿光轴的位置。建立一个参考球，其中心在Q'，并通过E'。任意一条光线与参考球相交于P'点。感兴趣的坐标是P'和q之间的线段的方向余弦(1,m,n)。注意，除非没有像差，否则这个线段不与光线重合。

图1 光瞳坐标

方向余弦必须在z轴平行于Q'处法线面的坐标系中定义。对于一个平坦的像表面，这与定义该表面的坐标系相同，z轴沿着光轴。如果图像表面不是平的，(1.m.n)必须旋转到表面法线的坐标系中。这是通过式(1)中的旋转矩阵完成的，其中(L,M,N)是沿曲面法向量在点Q'处的单位向量。

相对照度

我们假设对象上的光强度均匀，并且其行为类似于平面朗伯光源。 如果绘制由限制光线定义的出射光瞳形状，作为（1，m）的函数，我们将得到一个图形，该图形的面积与像表面的照度成比例。这在图2中示出。因此，通过将离轴瞳孔区域除以轴上瞳孔区域来获得相对照明。应该注意的是，这种方法自动考虑了视场大小的任何瞳孔大小变化，包括渐晕和图像失真的影响。它对任何通用光学系统均有效，并且不限于旋转对称系统。

图二 沿余弦方向的出瞳

有效F数也可以从图2中获得。如果我们将出瞳孔周边与图中的m轴相交的点为ml和m2，则m方向上的有效F数为1 /（ m2-m1）。可以在l方向上获得对应的数字。                

余弦四次方定律

图3描绘了一个薄透镜作为光阑的出射空间，并显示了轴上光束和轴外光束的限制光线，其中主光线与光轴成角度U。R是光瞳的半径，D是从光瞳到图像的距离，H是像高。我们可以用代数方法定义子午方向和矢状方向的极限光线的方向余弦，并假设光瞳可以用椭圆表示，从而得到相对照度的表达式。如果我们现在取这个表达式并让R趋近于零(傍轴极限)，我们将发现相对照度RI为

这就是众所周知的余弦四次方定律，它与一个更简单的概念相一致，即一个余弦来自于光束与像的倾斜度，一个余弦来自于光束与光瞳的倾斜度，两个余弦来自于倒数距离的平方。这个定律更普遍地适用于出瞳相对于场的大小和位置恒定的平场系统。角度U是在像空间中测量的。此外，如果系统的光瞳在节点上，则物体空间的角度也为U。

图3 薄透镜为光阑

实际计算

在计算机上计算光瞳面积的直接方法是转动镜头，并从像点沿余弦（1，m）方向等距间隔地绘制光线网格。然后，面积与通过系统的光线数量成正比。通常不方便转动镜头，因此另一种方法是跟踪从物点而不是像点发出的光线。经过以下修改，这种方法已被证明对于实际目的是足够准确的。

如果有像差，那么光线就不会与像点和参考球之间的线段重合。在这种情况下，可以使用式(3)对像空间中的光线追踪方向余弦进行修正，其中(1′，m′)为光线追踪方向余弦。(1,m)为修正的方向余弦，(X,Y)为像面上的横向像差(偏离主射线)，D为从出瞳到像面上的距离。使用的符号约定是，从左向右传播时向下倾斜的光线具有负方向的余弦。

必须在出射空间方向余弦上均匀地间隔光线。为此，必须为所考虑的每个视场点计算物像放大率。一般来说，任何一个场的子午方向和矢状方向的放大率是不同的，并且物体空间坐标与图像空间坐标是线性关联的。该关系可以写为等式（4）所示，其中（1，m）是像空间中的方向余弦，（1s，ms）是物体空间中的方向余弦，(ls, ms)是物体空间中主光线的方向余弦，(l, m)是象空间中主光线的方向余弦。当物体在无穷远处时，使用入瞳坐标代替物体空间方向余弦。通过追踪几条近轴光线到主光线并求解一组并行方程组，得到了矩阵元(A,B,C,D)。在旋转对称透镜的特殊情况下，a为矢状面放大，D为子午面放大，B=C=0。

简化计算

在许多情况下，不需要上述广泛的光线跟踪。 如果我们假设旋转对称透镜没有障碍物，那么在大多数情况下，椭圆可以足够精确地近似光瞳。 椭圆又可以由两个子午线和一个矢状线定义。 当然，由于光瞳是圆形的，因此在轴上仅需要一束光线。 图4显示了轴上和轴外的出瞳，并给出了定义光线的方向余弦。相对照度是

薄透镜例子

利用图3，我们可以任意分配值，R=1, D=10 and H=10。这相当于一个倾斜45度的F/5镜头。极限方向余弦值分别为m0=0.0995、m1 = 0.7399、m2=0.6690、l3 =0.0705。评估方程(5)给出了25.2%的相对光照，非常接近余弦四次方定律预测的25.0%。

实际透镜例子

图5示选自美国专利2,031,792的图1的F / 6.3 Topogon透镜。轴外视场角为35度。相对照度以三种不同方式计算，并与金斯莱克获得的值进行比较（使用了两次计算的平均值）。在第一种方法中，通过系统跟踪了大约300条轴上光线。使用相同的出瞳距离在离轴场上进行了类似的描迹。如等式（3）中那样修改方向余弦。相对照度是在两个场中跟踪的光线数量的比率。在第二种方法中，使用公式（3）跟踪并修改了4条限制光线。根据等式（5）计算相对照度。赫德方法与第二种方法类似，不同之处在于未修改方向余弦。表1总结了结果，即使在没有校正像差的4条限制光线的情况下，结果也非常接近更精确的计算结果。

图4 简化计算

图5 美国专利2,031,792 (图1)

表1美国专利2,031,792(图1)在35度下的相对照明

影响相对照度

虽然一个作为光阑的薄透镜有一个平面图像具有遵循余弦四次方定律的照明，很少有复杂的透镜系统这样做。余弦定律的性质表明，镜头可以表现得比该定律预测的更好。一种方法是在向内弯曲屏幕或探测器表面。圆顶投影仪就是一个例子。这些系统通常也有一个F-Ɵ映射，这意味着大量的负失真。这减少了主光线在像空间的角度，有助于改善照明。对于其中一些系统，轴外照度可能超过轴上照度。

人们还可以想象一种具有中央遮挡的系统，其中光瞳中的障碍物像朝着具有视场的光瞳边缘移动。 如果移动足够远，则可以在视场变大时增加使用的光瞳面积，从而在视场边缘获得比轴向视场更高的照明度。 当然，其他因素（例如光瞳大小和像面上光束的倾斜度）可能会抵消这种影响。

图5中所示的Topogon镜头是一种老式的紧凑型对称广角镜头。它在外部元素上具有正光焦度，导致主光线在光阑空间中的角度大于在像空间或物空间中的角度。与传统的余弦透镜相比，这具有减少轴外光瞳尺寸的效果，即使在没有畸变或渐晕的情况下，其相对照度也比余弦四次方定律所预测的要低。将在35度无渐晕的情况下计算出的35％与余弦四次方法则预测的45％进行比较。大多数现代广角镜的外部都具有负光焦度。因此，它们的长度较长，但相对于余弦有更好的照明，即使失真较低，因为主光线在光阑的角度小于物空间的角度。

结论

一般光学系统的相对照度可以通过在适当的场点追踪光束来计算。在许多情况下，没有必要做广泛的光线追踪，可以获取准确的结果，包括畸变，渐晕和光瞳像差的影响。