最小二乘法是一种数学优化方法,用于寻找最小化误差平方和的解。在拟合Zernike多项式时,可以使用最小二乘法求解每个Zernike多项式所对应的幅度系数。
假设我们需要拟合的数据为y(x),其中x为自变量,y为因变量。我们选择n个Zernike多项式作为基函数,将其表示为$$ Z_k(x,y) $$ 其中k从1到n。
我们的目标是找到一组系数$$ a_1, a_2, ..., a_n $$ 使得拟合函数$$ y(x) = \\sum_{k=1}^{n} a_k Z_k(x,y) $$ 向原始数据y(x)最接近。这相当于求解以下最小化误差平方和的问题:$$ S = \\sum_{i=1}^{m}(y_i - \\sum_{k=1}^{n}a_k Z_k(x_i, y_i))^2 $$ 其中m为样本数。
使用标准最小二乘法,我们可以通过求解以下矩阵方程来计算出幅度系数a:$$\\begin{bmatrix} Z_1(x_1, y_1) & Z_2(x_1, y_1) & \\cdots & Z_n(x_1, y_1) \\\\ Z_1(x_2, y_2) & Z_2(x_2, y_2) & \\cdots & Z_n(x_2, y_2) \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots\\\\ Z_1(x_m, y_m) & Z_2(x_m, y_m) & \\cdots & Z_n(x_m, y_m) \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} a_1 \\\\ a_2 \\\\ \\vdots \\\\ a_n \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} y_1 \\\\ y_2 \\\\ \\vdots \\\\ y_m \\end{bmatrix} $$
可以用矩阵求逆的方法来计算幅度系数a:$$ a = (Z^TZ)^{-1}Z^Ty $$ 其中,Z是基函数的矩阵,y是对应的因变量向量,T表示矩阵的转置。
计算完幅度系数a之后,我们就可以得到拟合的函数了:$$ y(x) = \\sum_{k=1}^{n} a_k Z_k(x,y) $$
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